Inhoud.

Is onderverdeeld:

1 Inleiding.

2 Uitgangspunt.

3 Samenvatting.

4 Onderbouwing.

5 Bijlagen.

1 Inleiding.

Zie module:

o Inleiding.

Deze module gaat in op:

o Getal nul - Reken- of Telgetal.

Het betreft de vraag: Is getal nul een reken- of telgetal?

2 Uitgangspunt.

Niet van toepassing.

3 Samenvatting.

3.1 Algemeen.

1. Getal nul is een rekengetal.

2. Uitkomst staat op gespannen voet met eerste axioma van Dedekind - Peano.

3.2 Conclusies.

Niet van toepassing.

4 Onderbouwing.

Is onderverdeeld:

1 Benadering 1.

2 Benadering 2.

3 Benadering 3.

4 Benadering 4.

5 Benadering 5.

4.1 Benadering 1.

Is gebaseerd op bestaan van tegenpool: Rekenen vs. Tellen.

…a = Als waar is.

…i = Is ook waar.

1a Voor vaststellen aantal objecten ≠0 geldt: Is telresultaat.

2i Voor vaststellen aantal objecten =0 geldt: Is rekenresultaat.

1a Voor vaststellen aantal objecten ≠0 geldt: Is telresultaat.

3a Voor soort getal voor vaststellen aantal objecten geldt: Is telgetal.

4i Voor soort getal voor vaststellen aantal objecten ≠0 geldt: Is telgetal.

4a Voor soort getal voor vaststellen aantal objecten ≠0 geldt: Is telgetal.

5i Voor soort getal voor vaststellen aantal objecten =0 geldt: Is rekengetal.

Kortom:

o Getal nul is een rekengetal.

4.2 Benadering 2.

Is gebaseerd op bestaan telproces.

Voor telproces geldt: Is telstap gekoppeld aan telwoord dat leidt tot telgetal als telresultaat.

…a = Als waar is.

…i = Is ook waar.

1a Voor telwoord geldt: Vereist telstap.

2a Voor telstap geldt: Is gekoppeld aan telgetal.

3i Voor telstap één, twee … geldt: Is telgetal 1, 2 ….

3a Voor telstap één, twee … geldt: Is telgetal 1, 2 ….

4i Voor telgetal geldt: Is getal ≠0.

4a Voor telgetal geldt: Is getal ≠0.

5i Voor rekengetal geldt: Is getal =0.

Kortom:

o Getal nul is een rekengetal.

4.3 Benadering 3.

Is gebaseerd op bestaan van Planckdeeltje.

…a = Als waar is.

…i = Is ook waar.

1a Voor begrensd maal met zichzelf samenvoegen van Planckdeeltje geldt: leidt tot één en hetzelfde Planckdeeltje.

Toelichting:

o Voor begrensd met zichzelf samengevoegd Planckdeeltje geldt: bestaat uit begrensd*onbegrensd^3 punten.

o Voor begrensd maal samenvoegen van afzonderlijke punt geldt: leidt tot één afzonderlijk punt (begrensd getal*0=0).

2i Voor begrensd maal samenvoegen van Planckdeeltje geldt: is toegestaan.

2a Voor begrensd maal samenvoegen van Planckdeeltje geldt: is toegestaan.

Toelichting:

o 2.1a Voor begrensd maal samenvoegen van afzonderlijke punt geldt: leidt tot één afzonderlijk punt (begrensd getal*0=0).

3i Voor onbegrensd maal samenvoegen van Planckdeeltje geldt: is verboden.

Toelichting:

o 3.1i Voor onbegrensd maal samenvoegen van afzonderlijke punt geldt: leidt tot meerdere afzonderlijke punten (onbegrensd getal*0≠0).

2a Voor begrensd maal samenvoegen van Planckdeeltje geldt: is toegestaan.

4i Voor getal ≠0 in relatie tot samenvoegen van Planckdeeltje geldt: is telgetal.

4a Voor getal ≠0 in relatie tot samenvoegen van Planckdeeltje geldt: is telgetal.

5i Voor getal =0 in relatie tot samenvoegen van Planckdeeltje geldt: is rekengetal.

Kortom:

o Getal nul is een rekengetal.

4.4 Benadering 4.

Is gebaseerd op bestaan van onbegrensd lege ruimte als bron van onbegrensd aantal punten. Er is dan ook een 1 op 1 relatie met onbegrensde aantallen.

…a = Als waar is.

…i = Is ook waar.

1a Voor telwoord geldt: is gekoppeld aan telgetal.

Toelichting:

o 1.1a Voor rekengetal geldt: is zowel niét als wél neutraal.

o 1.2i Voor rekenresultaat geldt: is zowel niét als wél neutraal.

o

o 1.2a Voor rekenresultaat geldt: is zowel niét als wél neutraal.

o 1.3a Voor telwoord geldt: is neutraal.

o 1.4i Voor telresultaat geldt: is uitsluitend wél neutraal.

o

o 1.4a Voor telresultaat geldt: is uitsluitend wél neutraal.

o 1.5i Voor telgetal geldt: is uitsluitend wél neutraal.

o

o 1.5a Voor telgetal geldt: is uitsluitend wél neutraal.

o 1.6a Voor telresultaat geldt: is basis van rekenresultaat.

o 1.7a Een aparte telgetallenlijn is niet noodzakelijk. Het maakt afstemming tussen telkundige en rekenkundige overbodig.

o 1.8i Voor telgetal geldt: is als natuurlijk getal gekoppeld aan de positieve zijde van een rekengetallenlijn (keuze is arbitrair, dit omdat ‘erbij’ net zo goed ‘min-teken’ kan zijn).

2i Voor telgetal geldt: is uitsluitend wél neutraal.

3a Voor rekengetallenlijn geldt: is een onbegrensde aaneenschakeling van lijnstukken zonder dikte.

Toelichting:

o 3.1a Voor rekengetallenlijn geldt: bestaat uit gevulde ruimte.

o 3.2a Voor telgetallenlijn geldt: is tegenpool van rekengetallenlijn [door AI getoetste module ‘Rekenen vs. Tellen’].

o 3.3i Voor telgetallenlijn geldt: bestaat uit lege ruimte.

o

o 3.4a Voor rekengetallenlijn geldt: heeft wél een midden.

o 3.5i Voor telgetallenlijn geldt: heeft niét een midden.

o

o 3.6a Voor rekengetallenlijn geldt: is zowel niét als wél neutraal.

o 3.7i Voor telgetallenlijn geldt: is uitsluitend wél neutraal.

o

o 3.8a Voor rekengetallenlijn geldt: is dynamisch onbegrensd [is 1*(1+1+ …)].

o 3.9i Voor telgetallenlijn geldt: is statisch onbegrensd [is 1/(1+1+ …)].

o

o 3.10a Voor rekengetallenlijn geldt: lijnstuk is variabel begrensd.

o 3.11i Voor telgetallenlijn geldt: lijnstuk is vast begrensd.

4i Voor telgetallenlijn lijn geldt: is een onbegrensde aaneenschakeling van lijnstukken met dikte.

4a Voor telgetallenlijn geldt: is een onbegrensde aaneenschakeling van lijnstukken met dikte.

2a Voor telgetal geldt: is uitsluitend wél neutraal.

5a Voor koppeling lijn - getal geldt: kenmerken komen overeen.

6i Voor telgetallenlijn geldt: is gekoppeld aan telgetal.

6a Voor telgetallenlijn geldt: is gekoppeld aan telgetal.

7i Voor rekengetallenlijn geldt: is gekoppeld aan rekengetal.

6a Voor telgetallenlijn geldt: is gekoppeld aan telgetal.

2a Voor telgetal geldt: is uitsluitend wél neutraal.

8i Voor telgetallenlijn geldt: is gekoppeld aan één soort getal.

8a Voor telgetallenlijn geldt: is gekoppeld aan één soort getal.

Toelichting:

o 8.1a Is uitsluitend telgetal.

o 8.2a Voor telgetal geldt: Is uitsluitend geheel getal.

o 8.3a Voor telgetal geldt: Heeft uitsluitend polariteit(+én-).

o 8.4a Voor polariteit(+én-) geldt: (+) en (-) is ruimtelijk samengevoegd.

o 8.5a Voor polariteit(+én-) geldt: Is wél neutraal.

9i Voor rekengetallenlijn geldt: is gekoppeld aan meerdere soorten getallen.

Toelichting:

o 9.1i Is uitsluitend rekengetal.

o 9.2i Voor rekengetal geldt: is zowel geheel- als gebroken getal.

o 9.3i Voor rekengetal geldt: heeft zowel polariteit(+én-) als (+óf-).

o 9.4i Voor polariteit(+óf-) geldt: (+) en (-) is ruimtelijk gescheiden.

o 9.5i Voor polariteit(+óf-) geldt: is niét neutraal.

9a Voor rekengetallenlijn geldt: is gekoppeld aan meerdere wél soorten positieve en wél negatieve getallen, met daarbij het neutrale getal nul.

10i Voor rekengetallenlijn geldt: is gekoppeld aan zowel niét als wél neutrale getallen.

10a Voor rekengetallenlijn geldt: is gekoppeld aan zowel niét als wél neutrale getallen.

2a Voor telgetal geldt: is uitsluitend wél neutraal.

11i Voor telgetallenlijn geldt: is gekoppeld aan uitsluitend wél neutrale getallen.

11a Voor telgetallenlijn geldt: is gekoppeld aan uitsluitend wél neutrale getallen.

1a Voor telwoord geldt: is gekoppeld aan telgetal.

2a Voor telgetal geldt: is uitsluitend wél neutraal.

12i Voor telgetallenlijn geldt: is gekoppeld aan meerdere getallen exclusief getal nul.

12a Voor telgetallenlijn geldt: is gekoppeld aan meerdere getallen exclusief getal nul.

13i Voor rekengetallenlijn geldt: is gekoppeld aan meerdere getallen inclusief getal nul.

13a Voor rekengetallenlijn geldt: is gekoppeld aan meerdere getallen inclusief getal nul.

9a Voor rekengetallenlijn geldt: is gekoppeld aan meerdere soorten getallen.

Toelichting:

o 9.1i Is uitsluitend rekengetal.

o 9.2i Voor rekengetal geldt: is zowel geheel- als gebroken getal.

o 9.3i Voor rekengetal geldt: heeft zowel polariteit(+én-) als (+óf-).

o 9.4i Voor polariteit(+óf-) geldt: (+) en (-) is ruimtelijk gescheiden.

o 9.5i Voor polariteit(+óf-) geldt: is niét neutraal.

14i Voor getal nul geldt is rekengetal.

Kortom:

o Getal nul is een rekengetal.

4.5 Benadering 5.

Is onderverdeeld:

1 Gebaseerd op bestaan van zowel reken- als telgetallenlijn.

2 Gebaseerd op bestaan van uitsluitend rekengetallenlijn.

4.5.1 Gebaseerd op bestaan van zowel reken- als telgetallenlijn.

…a = Als waar is.

…i = Is ook waar.

1a Voor getal 1(+), 2(+) … geldt: is zowel reken- als telgetal.

Toelichting:

1 Voor getal 1(+én-), 2(+én-) … geldt: is gekoppeld aan telgetallenlijn.

2 Voor getal 1(+én-), 2(+én-) … geldt: is verzameling telgetallen.

3 Voor getal 1(+óf-), 2(+óf-) … geldt: is gekoppeld aan rekengetallenlijn

4 Voor getal 1(+), 2(+) … als telgetal geldt: is door rekenkundige vertaald vanuit telresultaat 1(+én-), 2(+én-) … afkomstig van telkundige.

5 Voor getal 1(+), 2(+) … als rekengetal geldt: is gedeelte van verzameling gehele getallen.

2a Voor getal 1(-) geldt: is rekengetal.

3i Voor getal 1(-), 2(-) … geldt: is uitsluitend rekengetal.

Toelichting:

o Is gedeelte van verzameling gehele getallen.

o Vervangt axioma 9 van Peano – Dedekind.

3a Voor getal 1(-), 2(-) … geldt: is uitsluitend rekengetal.

1a Voor getal 1(+), 2(+) … geldt: is zowel reken- als telgetal.

4i Voor getal ≠0 geldt: is zowel (uitsluitend rekengetal) als (zowel reken- als telgetal).

4a Voor getal ≠0 geldt: is zowel (uitsluitend rekengetal) als (zowel reken- als telgetal).

5a Voor getal =0 geldt: heeft als door AI getoetste uitkomst in benadering 1…4 ‘getal nul is uitsluitend een rekengetal.

6i Voor getal =0 geldt: is uitsluitend rekengetal.

Toelichting:

o Is gedeelte van verzameling gehele getallen.

Kortom:

o Getal nul is een rekengetal.

4.5.2 Gebaseerd op bestaan van uitsluitend rekengetallenlijn.

…a = Als waar is.

…i = Is ook waar.

1a Voor getal 1(+óf-), 2(+óf-) … geldt: is rekengetal.

Toelichting:

o Dit gebaseerd op bestaan van uitsluitend rekengetallenlijn.

2i Voor getal ≠0 geldt: is rekengetal.

2a Voor getal ≠0 geldt: is rekengetal.

3i Voor getal =0 geldt: is telgetal.

3a Voor getal =0 geldt: is telgetal.

4a Voor axioma’s Dedekind – Peano geldt: is hypothetisch van toepassing.

5i Voor getal 1(+), 2(+) … geldt: is zowel reken- als telgetal.

5a Voor getal 1(+), 2(+) … geldt: is zowel reken- als telgetal.

6a Voor getal 1(-) geldt: is rekengetal.

7i Voor getal 1(-), 2(-) … geldt: is uitsluitend rekengetal.

Toelichting:

o Vervangt axioma 9 van Peano - Dedekind.

7a Voor getal 1(-), 2(-) … geldt: is uitsluitend rekengetal.

5a Voor getal 1(+), 2(+) … geldt: is zowel reken- als telgetal.

8i Voor getal 1(+óf-), 2(+óf-) … geldt: is zowel (uitsluitend rekengetal) als (zowel reken- als telgetal).

Toelichting:

o Voor getal 1(+óf-), 2(+óf-) … geldt: is getal 1(+), 2(+) … ruimtelijk gescheiden van getal 1(-), 2(-) ….

8a Voor getal 1(+óf-), 2(+óf-) … geldt: is zowel (uitsluitend rekengetal) als (zowel reken- als telgetal).

9i Voor getal ≠0 geldt: is zowel (uitsluitend rekengetal) als (zowel reken- als telgetal).

9a Voor getal ≠0 geldt: is zowel (uitsluitend rekengetal) als (zowel reken- als telgetal).

10a Voor getal =0 geldt: heeft als door AI getoetste uitkomst in benadering 1…4 ‘getal nul is uitsluitend een rekengetal.

11i Voor getal =0 geldt: is uitsluitend rekengetal, dat in strijd is met stelling 3.

11a Voor getal =0 geldt: is uitsluitend rekengetal, dat in strijd is met stelling 3.

4a Voor axioma’s Dedekind – Peano geldt: is hypothetisch van toepassing.

12i Voor getal 1(-), 2(-) … geldt: is uitsluitend rekengetal, dat in strijd is met stelling 7.

12a Voor getal 1(-), 2(-) … geldt: is uitsluitend rekengetal, dat in strijd is met stelling 7.

6a Voor getal 1(-) geldt: Is rekengetal.

13i Voor getal 1(+), 2(+) … geldt: is zowel reken- als telgetal.

13a Voor getal 1(+), 2(+) … geldt: is zowel reken- als telgetal.

5a Voor getal 1(+), 2(+) … geldt: is zowel reken- als telgetal.

14i Voor axioma’s Peano geldt: lijkt op cirkelredenering.

5 Bijlagen.

Geen.